▷ Ecuaciones de segundo grado con fracciones

Aquí encontrarás cómo resolver ecuaciones de segundo grado con fracciones (o denominadores). Además, te explicamos cómo solucionar una ecuación de segundo grado que tiene fracciones y paréntesis a la vez. Podrás ver varios ejemplos de este tipo de ecuaciones y, para terminar, podrás practicar con ejercicios de ecuaciones de segundo grado con fracciones resueltas paso a paso.

Índice

Cómo resolver ecuaciones de segundo grado con fracciones

Para resolver una ecuación de segundo grado con fracciones (o denominadores) se deben seguir los siguientes pasos:

Calcular el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores.
Multiplicar toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores, es decir, multiplicar cada término de la ecuación de segundo grado por el mcm.
Simplificar las fracciones de la ecuación.
Trasponer todos los términos al primer miembro de la ecuación
Agrupar los términos semejantes.
Aplicar la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado.

Lógicamente, si la ecuación de segundo grado solamente tiene un término cuadrático, un término de primer grado, y un término independiente y todos ellos ya están en el mismo miembro (como sucede a veces), no hace falta aplicar los pasos 4 y 5.

Así pues, con este procedimiento se puede solucionar cualquier ecuación cuadrática con fracciones. Y, para que puedas ver exactamente cómo se hace, en el siguiente apartado hemos hecho la resolución de un ejemplo paso a paso.

Pero para poder resolver este tipo de ecuaciones es necesario que sepas cómo se calcula el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de 2 o más números enteros, por lo que antes haremos un breve repaso.

$m.c.m.(10,12) = \ ?$

1. Para calcular el mínimo común múltiple de dos o más números primero debemos hacer sus descomposiciones factoriales:

$\displaystyle \begin{array}{c}\vphantom{\begin{array}{r|c} 12&2\\6&2\\3&3\\1& \end{array}}\begin{array}{r|c} 10&2\\5&5\\1& \end{array} \\ \\ 10=2\cdot 5 \end{array} \qquad \begin{array}{c} \begin{array}{r|c} 12&2\\6&2\\3&3\\1& \end{array} \\ \\ 12=2^2\cdot 3 \end{array}$

2. Y, en segundo lugar, tenemos que multiplicar los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia:

$m.c.m.(10,12) = 2^2\cdot 3 \cdot 5 = \bm{60}$

De manera que el mínimo común múltiplo de 10 y 12 es igual a 60.

Ejemplo de ecuación de segundo grado con fracciones resuelta

Acabamos de ver la explicación del método que sirve para calcular ecuaciones de segundo grado con fracciones (o denominadores), pero para que puedas entender el concepto completamente hemos resuelto un ejemplo paso a paso a continuación:

$\cfrac{x^2}{3}+\cfrac{x}{2}-\cfrac{5}{6}=0$

Lo primero que debemos hacer es encontrar el mínimo común múltiplo de los denominadores (3, 2 y 6), que en este caso particular es 6.

$m.c.m.(2,3,6) = \color{orange}\bm{6}$

Una vez hemos hallado el m.c.m., multiplicamos cada término de la ecuación por el valor del mínimo común múltiplo encontrado:

$\color{orange}\bm{6}\color{black}\cdot \cfrac{x^2}{3}+\color{orange}\bm{6}\color{black}\cdot \cfrac{x}{2}-\color{orange}\bm{6}\color{black}\cdot \cfrac{5}{6}=0$

Ahora simplificamos las fracciones dividiendo el 6 entre cada denominador:

$\color{orange}\bm{2}\color{black}\cdot x^2+\color{orange}\bm{3}\color{black}\cdot x-\color{orange}\bm{1}\color{black}\cdot 5=0$

Calculamos las multiplicaciones resultantes:

$2x^2+3x-5=0$

De esta manera hemos conseguido transformar la ecuación de segundo grado con fracciones a una ecuación de segundo grado normal. Además, en este ejercicio todos los términos ya están agrupados en el primer miembro, por lo tanto, solo nos queda aplicar la fórmula general de las ecuaciones cuadráticas:

$\begin{aligned} x&= \cfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\[2ex] & =\cfrac{-3\pm \sqrt{3^2-4\cdot 2 \cdot (-5)}}{2\cdot 2} = \\[2ex] & = \cfrac{-3 \pm \sqrt{9+40}}{4} = \\[2ex] &= \cfrac{-3 \pm \sqrt{49}}{4}= \\[1.5ex] & =\cfrac{-3 \pm 7}{4} = \begin{cases} \cfrac{-3+ 7}{4}=\cfrac{4}{4} = \bm{1} \\[3ex]\cfrac{-3- 7}{4}=\cfrac{-10}{4} = \bm{-}\mathbf{\cfrac{5}{2}} \end{cases} \end{aligned}$

Así que las dos soluciones de la ecuación de segundo grado con fracciones son x=1 y x=-5/2.

Ten en cuenta que si la ecuación tuviera fracciones algebraicas se tendría que resolver de manera diferente. Por eso te recomendamos que veas cómo resolver ecuaciones con fracciones algebraicas.

Ecuaciones de segundo grado con fracciones y paréntesis

Acabamos de ver cómo se resuelven las ecuaciones de segundo grado con fracciones, pero este tipo de ecuaciones se pueden complicar un poco más añadiéndoles paréntesis.

Para resolver una ecuación de segundo grado con fracciones y paréntesis primero debemos eliminar los paréntesis aplicando la propiedad distributiva, y luego calculamos la ecuación resultante como una ecuación con denominadores normal (utilizando el método visto arriba).

Para que veas cómo se hace, a continuación vamos a calcular una ecuación de este tipo a modo de ejemplo:

$\cfrac{x^2-10}{5}=\cfrac{2}{3}\left(2x-3\right)-x$

La ecuación de este ejercicio es de grado 2 y tiene paréntesis y fracciones. Por tanto, primero resolvemos el paréntesis aplicando la propiedad distributiva:

$\cfrac{x^2-10}{5}=\cfrac{2}{3}\cdot 2x+\cfrac{2}{3}\cdot (-3)-x$

$\cfrac{x^2-10}{5}=\cfrac{4x}{3}-\cfrac{6}{3}-x$

$\cfrac{x^2-10}{5}=\cfrac{4x}{3}-2-x$

Y una vez hemos conseguido quitar los paréntesis, aplicamos el método que hemos visto en el apartado anterior. Así que calculamos el mínimo común múltiplo de 3 y 5:

$m.c.m.(3,5) = 15$

Multiplicamos todos los elementos de la ecuación por el mcm:

$15\cdot\cfrac{x^2-10}{5}=15\cdot\cfrac{4x}{3}-15\cdot 2-15\cdot x$

Simplificamos los denominadores:

$3\cdot (x^2-10)=5\cdot 4x -15\cdot 2-15\cdot x$

Fíjate que cuando en el numerador de la fracción hay más de un término debemos poner un paréntesis al quitar el denominador.

$\begin{array}{c}15\cdot\cfrac{x^2-10}{5} \\[3ex] \bm{\downarrow} \\[2ex] 3\cdot (x^2-10) \end{array}$

Esto es debido a que el 15 estaba multiplicando a todos los elementos del numerador.

Luego hacemos las multiplicaciones resultantes de la simplificación de fracciones:

$3\cdot x^2-3\cdot 10=20x -30-15x$

$3x^2-30=20x -30-15x$

Ahora pasamos todos los términos al lado izquierdo de la ecuación. Recuerda que al cambiar un término de lado también hay que cambiarle de signo:

$3x^2-30-20x+30+15x=0$

Sumamos y restamos los términos con el mismo grado:

$3x^2-5x=0$

De modo que solo nos queda resolver la ecuación de segundo grado incompleta obtenida:

$3x^2-5x=0 \quad \longrightarrow \quad x(3x-5)=0$

$\displaystyle x(3x-5)=0\begin{cases} x=0 \\[2ex] 3x-5=0 \ \longrightarrow \ x=\cfrac{5}{3} \end{cases}$

Si no has entendido este último paso, deberías ver cómo resolver ecuaciones de segundo grado incompletas.

Ejercicios resueltos de ecuaciones de segundo grado con fracciones

Ejercicio 1

Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado con fracciones:

$\cfrac{x^2}{2}+\cfrac{x}{2}=\cfrac{2x^2+1}{3}$

Ver solución

En primer lugar, calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores:

$m.c.m.(2,3) = 6$

Luego multiplicamos cada término de la ecuación por el valor hallado del mínimo común múltiplo:

$6\cdot \cfrac{x^2}{2}+6\cdot \cfrac{x}{2}=6\cdot \cfrac{2x^2+1}{3}$

Simplificamos las fracciones dividiendo el 6 entre cada denominador:

$3\cdot x^2+3\cdot x =2\cdot (2x^2+1)$

Multiplicamos:

$3x^2+3x =2\cdot 2x^2+2 \cdot 1$

$3x^2+3x =4x^2+2$

Pasamos todos los monomios al primer miembro de la ecuación:

$3x^2+3x -4x^2-2=0$

Y agrupamos los términos del mismo grado:

$-x^2+3x -2=0$

De forma que hemos obtenido una ecuación de segundo grado completa, así que utilizamos la fórmula general para resolverla:

$\begin{aligned} x&= \cfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\[2ex] & =\cfrac{-3\pm \sqrt{3^2-4\cdot (-1) \cdot (-2)}}{2\cdot (-1)} = \\[2ex] & = \cfrac{-3 \pm \sqrt{9-8}}{-2} = \\[2ex] &= \cfrac{-3 \pm \sqrt{1}}{-2}= \\[1.5ex] & =\cfrac{-3 \pm 1}{-2}= \begin{cases} \cfrac{-3 + 1}{-2}=\cfrac{-2}{-2} =\bm{1}\\[3ex]\cfrac{-3-1}{-2}=\cfrac{-4}{-2} =\bm{2} \end{cases} \end{aligned}$

Ejercicio 2

Calcula la siguiente ecuación cuadrática con fracciones:

$\cfrac{x^2-3}{4}+\cfrac{x}{3}=-1-\cfrac{x}{2}$

Ver solución

Primero de todo, debemos averiguar el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones, que en este problema es 12:

$m.c.m.(2,3,4) = 12$

Por lo que multiplicamos cada término de la ecuación por 12:

$12\cdot \cfrac{x^2-3}{4}+12\cdot \cfrac{x}{3}=-12\cdot 1-12\cdot \cfrac{x}{2}$

Simplificamos las fracciones de la ecuación dividiendo el 12 entre cada denominador:

$3 \cdot (x^2-3)+4\cdot x=-12\cdot 1-6\cdot x$

Resolvemos las multiplicaciones:

$3\cdot x^2+3\cdot (-3)+4x=-12-6x$

$3x^2-9+4x=-12-6x$

Movemos todos los términos al miembro izquierdo de la ecuación:

$3x^2-9+4x+12+6x=0$

Agrupamos los términos semejantes:

$3x^2+10x+3=0$

Y, finalmente, aplicamos la fórmula general de las ecuaciones cuadráticas:

$\begin{aligned} x&= \cfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\[2ex] & =\cfrac{-10\pm \sqrt{10^2-4\cdot 3 \cdot 3}}{2\cdot 3} = \\[2ex] & = \cfrac{-10 \pm \sqrt{100-36}}{6} = \\[2ex] &= \cfrac{-10 \pm \sqrt{64}}{6}= \\[1.5ex] & =\cfrac{-10 \pm 8}{6}= \begin{cases} \cfrac{-10 + 8}{6} =\cfrac{-2}{6} =\bm{-}\mathbf{\cfrac{1}{3}}\\[3ex]\cfrac{-10-8}{6} =\cfrac{-18}{6} =\bm{-3} \end{cases} \end{aligned}$

Ejercicio 3

Soluciona la siguiente ecuación de segundo grado con fracciones y paréntesis:

$\cfrac{3x^2}{4}+\cfrac{2}{3}\left(x-5\right)=1$

Ver solución

La ecuación del problema es de grado 2 (porque tiene una x elevada al cuadrado) y está formada por fracciones y paréntesis. Por tanto, lo primero que debemos hacer es operar los paréntesis aplicando la propiedad distributiva:

$\cfrac{3x^2}{4}+\cfrac{2}{3}\cdot x+\cfrac{2}{3}\cdot(-5)=1$

$\cfrac{3x^2}{4}+\cfrac{2x}{3}-\cfrac{10}{3}=1$

Una vez hemos simplificado los paréntesis, calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores:

$m.c.m.(3,4) = 12$

Ahora multiplicamos toda la ecuación por el mcm hallado:

$12 \cdot \cfrac{3x^2}{4}+12 \cdot\cfrac{2x}{3}-12 \cdot\cfrac{10}{3}=12 \cdot 1$

Simplificamos las fracciones de la ecuación dividiendo el 12 entre cada denominador:

$3 \cdot 3x^2+4 \cdot 2x-4 \cdot 10=12 \cdot 1$

Hallamos las multiplicaciones:

$9x^2+8x-40=12$

Trasponemos los términos necesarios para que todos queden en el primer miembro de la ecuación:

$9x^2+8x-40-12=0$

Sumamos y restamos los términos semejantes:

$9x^2+8x-52=0$

Y, por último, empleamos fórmula de la ecuación de segundo grado:

$\begin{aligned} x&= \cfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\[2ex] & =\cfrac{-8\pm \sqrt{8^2-4\cdot 9 \cdot (-52)}}{2\cdot 9} = \\[2ex] & = \cfrac{-8\pm \sqrt{64+1872}}{18} = \\[2ex] &= \cfrac{-8 \pm \sqrt{1936}}{18}= \\[1.5ex] & =\cfrac{-8 \pm 44}{18}= \begin{cases} \cfrac{-8 +44}{18}=\cfrac{36}{18}=\bm{2} \\[3ex] \cfrac{-8-44}{18}=\cfrac{-52}{18}=\bm{-}\mathbf{\cfrac{26}{9}} \end{cases} \end{aligned}$

Ejercicio 4

Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado con fracciones, paréntesis y corchetes:

$\displaystyle -\frac{2}{3}+\frac{x^2}{2}=\frac{2x^2}{5}-\frac{1}{6}\left[x-2\left(4+\frac{x}{2}\right)\right]$

Ver solución

La ecuación de este problema es de bastante dificultad, ya que combina fracciones, paréntesis y corchetes. Pero vamos paso por paso: primero tenemos que resolver los paréntesis y los corchetes utilizando la propiedad distributiva:

$\displaystyle -\frac{2}{3}+\frac{x^2}{2}=\frac{2x^2}{5}-\frac{1}{6}\left[x-2\cdot 4-2\cdot\frac{x}{2}\right]$

$\displaystyle -\frac{2}{3}+\frac{x^2}{2}=\frac{2x^2}{5}-\frac{1}{6}\left[x-8-x\right]$

$\displaystyle -\frac{2}{3}+\frac{x^2}{2}=\frac{2x^2}{5}-\frac{1}{6}\left[-8\right]$

$\displaystyle -\frac{2}{3}+\frac{x^2}{2}=\frac{2x^2}{5}-\frac{1}{6}\cdot (-8)$

$\displaystyle -\frac{2}{3}+\frac{x^2}{2}=\frac{2x^2}{5}+\frac{8}{6}$

Ahora tendríamos que encontrar el mínimo común múltiplo de los denominadores, sin embargo, antes podemos simplificar la última fracción, lo que nos facilitará los cálculos:

$\displaystyle -\frac{2}{3}+\frac{x^2}{2}=\frac{2x^2}{5}+\frac{4}{3}$