▷ Ecuaciones de segundo grado incompletas

En esta página te explicamos cómo resolver todos los tipos de ecuaciones de segundo grado incompletas (sin b, sin c, o sin ambas). Además, podrás practicar con ejercicios resueltos paso a paso de ecuaciones de segundo grado (o cuadráticas) incompletas.

Índice

¿Qué son las ecuaciones de segundo grado incompletas?

Como ya sabes, una ecuación de segundo grado completa tiene un término elevado al cuadrado, un término lineal, y un término independiente, es decir, es de la siguiente forma:

$ax^2+bx+c=0$

Entonces, ¿qué es una ecuación de segundo grado incompleta?

Las ecuaciones de segundo grado incompletas son ecuaciones con término cuadrático (ax²) pero que les falta el término lineal (bx) y/o el término independiente (c).

Tipos de ecuaciones de segundo grado incompletas

De modo que se pueden distinguir 3 tipos de ecuaciones de segundo grado (o cuadráticas) incompletas:

Ecuaciones de segundo grado incompleta con ausencia de b, es decir, sin término lineal:

$ax^2+c=0$

Ecuaciones de segundo grado incompleta con ausencia de c, esto es, sin término independiente:

$ax^2+bx=0$

Ecuaciones de segundo grado incompleta con ausencia de b y de c:

$ax^2=0$

Una vez hemos visto cuáles son los diferentes tipos de ecuaciones de segundo grado incompletas, vamos a ver cómo se resuelven en los siguientes apartado ya que, a diferencia de la ecuaciones de segundo grado completas, no se debe aplicar ninguna fórmula en ninguno de los tres casos.

Ecuaciones de segundo grado incompletas sin b

Este tipo de ecuaciones también se llaman ecuaciones cuadráticas incompletas puras.

Como hemos visto en el apartado anterior, cuando el coeficiente b de una ecuación de segundo grado incompleta es igual a cero significa que su expresión es de la siguiente forma:

$ax^2+bx+c=0 \quad \xrightarrow{b \ = \ 0} \color{black} \quad ax^2+c=0$

Para resolver una ecuación de segundo grado incompleta sin coeficiente b se deben seguir los siguientes pasos:

Despejar la incógnita de la ecuación.
Calcular la raíz cuadrada de ambos miembros de la ecuación.
Se obtendrán las dos soluciones de la ecuación de segundo grado: una solución positiva y otra solución negativa.

Veamos cómo se hace resolviendo paso a paso un ejemplo de una ecuación de segundo grado incompleta de este tipo:

$2x^2-8 = 0$

Lo primero que debemos hacer es despejar la x al cuadrado, por lo tanto, pasamos el número sin incógnita al otro miembro de la ecuación:

$2x^2 = 8$

Luego pasamos el coeficiente de x² al otro lado dividiendo:

$x^2=\cfrac{8}{2}$

$x^2=4$

Y, finalmente, hacemos la raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación cuadrática:

$\sqrt{x^2}=\sqrt{4}$

$x= \pm 2$

De este modo hemos hallado las 2 soluciones de la ecuación cuadrática incompleta, que son +2 y -2.

$\bm{x=+2} \qquad \bm{x=-2}$

Como puedes comprobar, es relativamente fácil hacer una ecuación de segundo grado incompleta sin término de primer grado. Sin embargo, las ecuaciones de segundo grado incompletas sin término independiente se complican un poco más; a continuación vamos a ver cómo se calculan.

Ecuaciones de segundo grado incompletas sin c

Este tipo de ecuaciones también se llaman ecuaciones cuadráticas incompletas mixtas.

Cuando el coeficiente c de una ecuación de segundo grado incompleta es nulo quiere decir que es de la siguiente forma:

$ax^2+bx+c=0 \quad \xrightarrow{c \ = \ 0} \color{black} \quad ax^2+bx=0$

Para resolver una ecuación de segundo grado incompleta sin coeficiente c se deben hacer los siguientes pasos:

Sacar el factor común x de la ecuación.
Igualar cada factor del producto a 0.
Resolver la ecuación de primer grado resultante.
Las dos soluciones de la ecuación de segundo grado son x=0 y la solución hallada en el paso anterior.

Así escrito puede parecer muy difícil, por lo que mejor veamos la resolución de un ejemplo de una ecuación de segundo grado incompleta de este tipo:

$2x^2-6x = 0$

Efectivamente, se trata de una ecuación cuadrática incompleta sin coeficiente c. Por lo tanto, tenemos que extraer el factor común x de la ecuación:

$x(2x-6) = 0$

En segundo lugar, tenemos que igualar cada factor del producto anterior a cero:

$\displaystyle x(2x-6) = 0 \begin{cases} x=0 \\[2ex] 2x-6=0 \end{cases}$

De modo que una de las soluciones de la ecuación será x=0. Y, para hallar la otra solución, debemos resolver la ecuación resultante de los elementos de dentro del paréntesis:

$2x-6= 0$

$2x=6$

$x=\cfrac{6}{2}$

$x= 3$

En conclusión, las dos soluciones de la ecuación de segundo grado incompleta son:

$\bm{x=0} \qquad \bm{x=3}$

Ecuaciones de segundo grado incompletas sin b y sin c

Los coeficientes b y c de este tipo de ecuaciones cuadráticas incompletas siempre son iguales a 0, o dicho con otras palabras, la ecuación solamente posee término cuadrático:

$ax^2+bx+c=0 \quad \xrightarrow{b\ = \ 0 \ ; \ c \ = \ 0} \color{black} \quad ax^2=0$

Resolver una ecuación de segundo grado incompleta sin coeficiente b ni coeficiente c es muy sencillo, porque sus dos soluciones siempre son 0.

Por ejemplo, si tenemos la siguiente ecuación de segundo grado incompleta sin término lineal y sin término independiente:

$5x^2= 0$

No hace falta hacer ningún cálculo, ya que las 2 soluciones de este tipo de ecuaciones siempre son iguales a cero:

$\bm{x=0} \qquad \bm{x=0}$

Aunque no hace falta saberlo, si quieres puedes ver el porqué de esta condición haciendo clic en el siguiente desplegable:

Ver demostración

Se puede demostrar fácilmente que las dos soluciones de este tipo de ecuación de segundo grado incompleta son nulas despejando la incógnita:

$5x^2= 0$

$x^2= \cfrac{0}{5}$

$x^2= 0$

La raíz cuadrada de cero siempre da como resultado 0, por lo que las dos soluciones de la ecuación siempre serán 0:

$\sqrt{x^2}= \sqrt{0}$

$x= \pm 0$

De una raíz cuadrada siempre se obtiene una solución positiva y otra negativa. Así que aunque en este caso ambas soluciones tienen el mismo valor, la ecuación tiene una solución doble:

$\bm{x=0} \qquad \bm{x=0}$

Ejercicios resueltos de ecuaciones de segundo grado incompletas

Ejercicio 1

Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado incompleta:

$x^2-9 = 0$

Ver solución

Se trata de una ecuación de segundo grado incompleta con ausencia del término b, por lo tanto, primero despejamos la incógnita:

$x^2=9$

Y luego hacemos la raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación:

$\sqrt{x^2}=\sqrt{9}$

$x=\pm 3$

De modo que las dos soluciones de la ecuación de segundo grado incompleta son +3 y -3.

$\bm{x=+3} \qquad \bm{x=-3}$

Ejercicio 2

Calcula la siguiente ecuación cuadrática incompleta:

$4x^2-4 = 0$

Ver solución

A la ecuación de segundo grado incompleta le falta el coeficiente b, en consecuencia, primero tenemos que despejar el término cuadrático. Así que pasamos al otro lado el -4 cambiándole el signo:

$4x^2=4$

En segundo lugar, pasamos el coeficiente de x² al otro miembro dividiendo:

$x^2=\cfrac{4}{4}$

$x^2=1$

Y, por último, sacamos la raíz cuadrada de ambos miembros de la igualdad:

$\sqrt{x^2}=\sqrt{1}$

$x= \pm 1$

Por lo que las dos soluciones de la ecuación cuadrática incompleta son +1 y -1:

$\bm{x=+1} \qquad \bm{x=-1}$

Ejercicio 3

Soluciona la siguiente ecuación de segundo grado incompleta:

$4x^2+20x=0$

Ver solución

A la ecuación de segundo grado incompleta le falta el coeficiente c. Por lo tanto, primero tenemos que sacar el factor común x de la ecuación:

$x(4x+20) = 0$

Después igualamos cada factor del producto anterior a cero:

$\displaystyle x(4x+20) = 0 \begin{cases} x=0 \\[2ex] 4x+20=0 \end{cases}$

Ahora ya sabemos que una de las soluciones de la ecuación será x=0. Pues ara hallar la otra solución resolvemos la ecuación lineal resultante del paso anterior:

$4x+20= 0$

$4x=-20$

$x=\cfrac{-20}{4}$

$x=-5$

En definitiva, las dos soluciones de la ecuación son:

$\bm{x=0} \qquad \bm{x=-5}$

Ejercicio 4

Determina la siguiente ecuación de segundo grado incompleta:

$5x^2-15x=0$

Ver solución

A la ecuación cuadrática incompleta le falta el coeficiente c. Por lo tanto, primero extraemos el factor común x de la ecuación:

$x(5x-15) = 0$

Igualamos cada factor de la multiplicación anterior a cero:

$\displaystyle x(5x-15) = 0 \begin{cases} x=0 \\[2ex] 5x-15=0 \end{cases}$

Con lo que una de las soluciones de la ecuación será x=0. Entonces, resolvemos la ecuación de primer grado obtenida en el paso anterior para determinar la otra solución:

$5x-15= 0$

$5x=15$

$x=\cfrac{15}{5}$

$x=3$

Por tanto, las dos soluciones de la ecuación cuadrática incompleta son:

$\bm{x=0} \qquad \bm{x=3}$

Ejercicio 5

Resuelve la siguiente ecuación de grado 2 incompleta:

$10x^2 = 0$

Ver solución

En este problema a la ecuación de segundo grado incompleta le falta tanto el coeficiente b como el coeficiente c, lo que significa que las dos soluciones de la ecuación son x=0 (solución doble).

$\bm{x=0} \qquad \bm{x=0}$

Ejercicio 6

Halla la x de la siguiente ecuación de segundo grado incompleta:

$2x^2+50 = 0$

Ver solución

La ecuación de segundo grado incompleta no tiene término lineal, así que despejamos el término de grado 2:

$2x^2=-50$

$x^2=\cfrac{-50}{2}$

$x^2=-25$

Y ahora tendríamos que calcular la raíz cuadrada en ambos miembros de la igualdad:

$\sqrt{x^2}=\sqrt{-25}\color{red} \ \bm{\times}$

Sin embargo, la raíz cuadrada de un número real negativo no existe, por lo que la ecuación de segundo grado no tiene solución.

En realidad, sí que se pueden calcular las raíces cuadradas de números negativos, pero para eso es necesario tener un conocimiento de matemáticas más avanzado, ya que deberíamos resolver una ecuación de segundo grado incompleta con soluciones complejas.

Ejercicio 7

Resuelve la siguiente ecuación cuadrática incompleta con paréntesis:

$7x^2+2(3x-20)= 6(x+10)+3x^2$

Ver solución

Para determinar qué tipo de ecuación de segundo grado es, primero tenemos que operar los paréntesis. Y, para ello, aplicamos la propiedad distributiva:

$7x^2+2\cdot 3x+2\cdot (-20)= 6\cdot x+6\cdot 10+3x^2$

$7x^2+6x-40= 6x+60+3x^2$

Ahora pasamos todos los términos al lado izquierdo de la ecuación:

$7x^2+6x-40- 6x-60-3x^2=0$

Y agrupamos los términos semejantes:

$4x^2-100=0$

De manera que se anula el coeficiente b y, por tanto, se trata de una ecuación de segundo grado incompleta sin término lineal. Así que despejamos el término cuadrático:

$4x^2=100$

$x^2=\cfrac{100}{4}$

$x^2=25$

Y, por último, efectuamos la raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación:

$\sqrt{x^2}=\sqrt{25}$

$x= \pm 5$

Con lo que las dos soluciones de la ecuación de segundo grado incompleta son +5 y -5:

$\bm{x=+5} \qquad \bm{x=-5}$

Ejercicio 8

Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado incompleta con fracciones y paréntesis:

$\cfrac{7x}{3}+\cfrac{3\left(x^2+4\right)}{4}=3+\cfrac{5x}{2}$

Ver solución

Para quitar las fracciones de la ecuación, primero debemos multiplicar cada uno de sus términos por el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de sus denominadores (3,4 y 2), que en este caso es 12.

$12 \cdot \cfrac{7x}{3}+12 \cdot\cfrac{3\left(x^2+4\right)}{4}=12 \cdot 3+12 \cdot\cfrac{5x}{2}$