▷ Ecuaciones racionales (o ecuaciones fraccionarias)

Te explicamos qué son las ecuaciones racionales, también llamadas ecuaciones fraccionarias o con fracciones algebraicas, y cómo se resuelven. Además, hemos resuelto paso a paso varios ejercicios de fracciones racionales (o fraccionarias) para que puedas practicar.

Índice

¿Qué son las ecuaciones racionales (o fraccionarias)?

Las ecuaciones racionales, también llamadas ecuaciones fraccionarias, son aquellas ecuaciones que tienen fracciones algebraicas, es decir, en las ecuaciones racionales la incógnita también está en el denominador de alguna fracción.

Aunque tienen nombres parecidos, no se deben confundir las ecuaciones racionales con las ecuaciones irracionales, ya que son dos tipos de ecuaciones totalmente distintas. Puedes ver en qué se diferencian buscando el término ecuaciones irracionales en nuestro buscador (arriba a la derecha).

Cómo resolver ecuaciones racionales (o fraccionarias)

Para resolver una ecuación racional o fraccionaria se deben hacer los siguientes pasos:

Hallar el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores.
Multiplicar cada término de la ecuación racional por el mcm encontrado en el paso anterior.
Simplificar las fracciones de la ecuación racional.
Resolver la ecuación resultante.
Comprobar las soluciones obtenidas sustituyendo cada valor en la ecuación racional original.

Esta es la teoría que nos permitirá solucionar cualquier tipo de ecuación racional o fraccionaria. Ahora vamos a ver exactamente cómo se hace resolviendo un ejemplo.

Ejemplo de ecuación racional (o fraccionaria) resuelta

Así pues, para que veas exactamente cómo se hacen las ecuaciones racionales (o fraccionarias), a continuación vamos a explicar la resolución de un ejemplo paso a paso:

$\cfrac{2x+2}{x-1} - \cfrac{6}{x}=2$

Lo primero que debemos hacer es hallar el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores (damos por sabido este concepto, pero si tienes dudas de cómo se calcula puedes preguntarnos en los comentarios). En este ejercicio el m.c.m. es el siguiente:

$m.c.m.(x-1, x) =\color{orange} \bm{x(x-1)}$

Una vez hemos calculado el mcm de los denominadores de las fracciones, tenemos que multiplicar cada término de la ecuación por la expresión algebraica hallada en el paso anterior:

$\cfrac{\color{orange} \bm{x(x-1)}\color{black}\cdot(2x+2)}{x-1} -\cfrac{\color{orange} \bm{x(x-1)}\color{black}\cdot 6}{x}= \color{orange} \bm{x(x-1)}\color{black} \cdot 2$

Fíjate que cuando hay más de un término en el numerador de la fracción hay que poner un paréntesis, para que así se multipliquen todos términos del numerador.

$\begin{array}{c}\cfrac{2x+2}{x-1} \\[3ex] \bm{\downarrow} \\[2ex] \cfrac{x(x-1)\cdot(2x+2)}{x-1} \end{array}$

Ahora simplificamos las fracciones algebraicas de la ecuación dividiendo el m.c.m. entre cada denominador:

$\cfrac{x \cancel{(x-1)}\cdot(2x+2)}{\cancel{x-1}} - \cfrac{\cancel{x}(x-1)\cdot 6}{\cancel{x}}= x(x-1) \cdot 2$

$x\cdot(2x+2) - (x-1)\cdot 6= x(x-1) \cdot 2$

Como puedes ver, con este procedimiento hemos conseguido quitar las incógnitas de los denominadores y ahora simplemente tenemos que resolver una ecuación de primer grado.

Así que aplicamos la propiedad distributiva para resolver los paréntesis:

$2x^2+2x - (6x-6)= (x^2-x) \cdot 2$

$2x^2+2x - 6x+6= 2x^2-2x$

Ponemos todos los términos en el mismo miembro de la ecuación y agrupamos los que tienen el mismo grado:

$2x^2+2x - 6x+6-2x^2+2x=0$

$-2x+6=0$

Y, finalmente, despejamos la incógnita x:

$-2x=-6$

$x= \cfrac{-6}{-2}$

$\bm{x=3}$

En una ecuación normal, ya habríamos acabado. Sin embargo, en este tipo de ecuaciones se deben comprobar siempre las soluciones obtenidas. Para ello, debemos sustituir la x por el valor encontrado en la ecuación original y ver si se cumple la igualdad.

$\cfrac{2x+2}{x-1} - \cfrac{6}{x}=2 \quad \xrightarrow{ x \ = \ 3 } \quad \cfrac{2\cdot 3+2}{3-1} - \cfrac{6}{3} = 2$

$\cfrac{6+2}{2} - 2 = 2$

$\cfrac{8}{2} - 2 = 2$

$4 - 2 = 2$

$2=2$ ✅

Se cumple la igualdad porque en ambos miembros de la ecuación hemos obtenido el mismo resultado. Por lo tanto, x=3 sí que es solución. Si no se hubiera cumplido la igualdad, es decir, si hubiera un número diferente en cada lado de la ecuación, significaría que x=3 no es una solución de la ecuación.

Ejercicios resueltos de ecuaciones racionales (o fraccionarias)

Ejercicio 1

Resuelve la siguiente ecuación racional de primer grado:

$\cfrac{2}{x} - 1 = \cfrac{2-x}{x+3}$

Ver solución

En primer lugar, tenemos que calcular el mínimo común múltiplo de los denominadores:

$m.c.m.(x, x+3) =x(x+3)$

Luego multiplicamos cada término de la ecuación racional por el m.c.m. hallado en el paso anterior:

$\cfrac{x(x+3) \cdot 2}{x} - x(x+3) \cdot 1 = \cfrac{x(x+3) \cdot (2-x)}{x+3}$

Simplificamos todas las fracciones algebraicas dividiendo el m.c.m. entre cada denominador:

$\cfrac{\cancel{x}(x+3) \cdot 2}{\cancel{x}} - x(x+3)\cdot 1 = \cfrac{x \cancel{(x+3)} \cdot (2-x)}{\cancel{x+3}}$

$(x+3) \cdot 2- x(x+3) \cdot 1 = x \cdot (2-x)$

De manera que solo nos queda resolver la ecuación lineal resultante. Para ello, aplicamos la propiedad distributiva para quitar los paréntesis:

$2x+6 - x^2-3x = 2x-x^2$

Ponemos todos los monomios en el mismo lado de la ecuación:

$2x+6 - x^2-3x - 2x+x^2=0$

Sumamos y restamos los términos con el mismo grado:

$6 -3x =0$

Y despejamos al incógnita:

$-3x =-6$

$x=\cfrac{-6}{-3}$

$\bm{x=-2}$

Por último, debemos comprobar que el valor calculado realmente sea una solución de la ecuación racional del problema. Por lo tanto, sustituimos el resultado en la ecuación original:

$\cfrac{2}{x} - 1 = \cfrac{2-x}{x+3} \quad \xrightarrow{x \ = \ 2}\quad \cfrac{2}{2} - 1 = \cfrac{2-2}{2+3}$

$1 - 1 = \cfrac{0}{5}$

$0 = 0$ ✅

Hemos obtenido el mismo resultado en los dos miembros de la ecuación, por lo que efectivamente x=2 es la solución de la ecuación racional.

Ejercicio 2

Resuelve la siguiente ecuación fraccionaria de primer grado:

$-\cfrac{3-x}{x+2} + \cfrac{x-1}{x-2} = 2$

Ver solución

Primero de todo, hallamos el mínimo común múltiplo de los denominadores de la ecuación fraccionaria:

$m.c.m.(x+2, x-2) =(x+2)(x-2)$

En segundo lugar, multiplicamos cada término de la ecuación por el valor encontrado en el paso anterior:

$- \cfrac{(x+2)(x-2)\cdot (3-x)}{x+2} + \cfrac{(x+2)(x-2)\cdot (x-1)}{x-2} = (x+2)(x-2) \cdot 2$

Simplificamos las fracciones dividiendo el m.c.m. entre cada denominador:

$- \cfrac{\cancel{(x+2)}(x-2)\cdot (3-x)}{\cancel{x+2}} + \cfrac{(x+2)\cancel{(x-2)} \cdot (x-1)}{\cancel{x-2}} = (x+2)(x-2)\cdot 2$

$- (x-2) \cdot (3-x) + (x+2) \cdot(x-1) = (x+2)(x-2) \cdot 2$

Aplicamos la propiedad distributiva para simplificar los paréntesis:

$- (3x-x^2 -6 +2x) +x^2-x+2x-2 = (x^2-2x+2x-4) \cdot 2$

$- 3x+x^2 +6 -2x+ x^2-x+2x-2 = 2x^2-4x+4x-8$

Y ahora resolvemos la ecuación resultante. Así que trasponemos todos los términos al primer miembro de la ecuación:

$- 3x+x^2 +6 -2x+ x^2-x+2x-2 - 2x^2+4x-4x+8=0$

Sumamos y restamos los términos con el mismo grado:

$-4x+12=0$

Y despejamos la incógnita:

$-4x =-12$

$x=\cfrac{-12}{-4}$

$\bm{x=3}$

Para terminar, debemos verificar si la solución calculada es solución de la ecuación fraccionaria. Por lo que sustituimos el resultado en la ecuación del principio:

$-\cfrac{3-x}{x+2} + \cfrac{x-1}{x-2} = 2 \quad \xrightarrow{x \ = \ 3} \quad -\cfrac{3-3}{3+2} + \cfrac{3-1}{3-2} = 2$

$-\cfrac{0}{5} + \cfrac{2}{1} = 2$

$-0 +2 = 2$

$2 = 2$ ✅

Hemos obtenido el mismo resultado en los dos miembros de la ecuación, en consecuencia, x=3 es la solución de la ecuación fraccionaria.

Ejercicio 3

Resuelve la siguiente ecuación racional de segundo grado:

$\cfrac{4}{x-2} - \cfrac{6}{x+3} = \cfrac{1}{3}$

Ver solución

El primer paso para resolver las ecuaciones con fracciones algebraicas es calcular el mínimo común múltiplo de los denominadores, por tanto:

$m.c.m.(x-2,x+3, 3) =(x-2)\cdot (x+3)\cdot 3$

Entonces, multiplicamos cada fracción algebraica por el mcm hallado:

$\cfrac{(x-2)\cdot (x+3)\cdot 3 \cdot 4}{x-2} - \cfrac{(x-2)\cdot (x+3)\cdot 3 \cdot 6}{x+3} = \cfrac{(x-2)\cdot (x+3)\cdot 3 \cdot 1}{3}$

Simplificamos las fracciones algebraicas dividiendo el mínimo común múltiplo entre cada denominador:

$\cfrac{\cancel{(x-2)}\cdot (x+3)\cdot 3 \cdot 4}{\cancel{x-2}} - \cfrac{(x-2)\cdot \cancel{(x+3)}\cdot 3 \cdot 6}{\cancel{x+3}} = \cfrac{(x-2)\cdot (x+3)\cdot \cancel{3} \cdot 1}{\cancel{3}}$

$(x+3)\cdot 3 \cdot 4 - (x-2)\cdot 3 \cdot 6 = (x-2)\cdot (x+3) \cdot 1$

Operamos los paréntesis utilizando la propiedad distributiva:

$(x+3)12 - (x-2)18 = (x^2+3x-2x-6)\cdot 1$

$12x+36 - (18x-36) = x^2+3x-2x-6$

$12x+36 - 18x+36 = x^2+3x-2x-6$

Resolvemos la ecuación cuadrática obtenida. Para ello, pasamos todos los elementos la primer miembro de la ecuación:

$12x+36 - 18x+36 - x^2-3x+2x+6=0$

Agrupamos los términos semejantes:

$- x^2-7x+78=0$

Y aplicamos la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado para solucionarla:

$\begin{aligned} x & = \cfrac{-b\pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} \\[2ex] & =\cfrac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 -4\cdot (-1) \cdot 78}}{2\cdot (-1)} \\[2ex] & = \cfrac{+7 \pm \sqrt{49 +312}}{-2} \\[2ex] &= \cfrac{7 \pm \sqrt{361}}{-2} \\[1.5ex] &=\cfrac{7 \pm 19}{-2}= \begin{cases} \cfrac{7+19}{-2} = \cfrac{26}{-2} =\bm{-13} \\[3ex] \cfrac{7-19}{-2} = \cfrac{-12}{-2} = \bm{6} \end{cases}\end{aligned}$

Ahora debemos comprobar que las dos soluciones obtenidas en el problema son verdaderamente soluciones de la ecuación con fracciones algebraicas. Por lo que sustituimos cada valor calculado en la ecuación original:

$\cfrac{4}{-13-2} - \cfrac{6}{-13+3} = \cfrac{1}{3}$

$\cfrac{4}{-15} - \cfrac{6}{-10} = \cfrac{1}{3}$

$-0,27 - (-0,6) = 0,33$

$-0,27 +0,6 = 0,33$

$0,33= 0,33$ ✅

$\cfrac{4}{6-2} - \cfrac{6}{6+3} = \cfrac{1}{3}$

$\cfrac{4}{4} - \cfrac{6}{9} = \cfrac{1}{3}$

$1 -0,67 = 0,33$

$0,33= 0,33$ ✅

Las dos soluciones cumplen con la ecuación, por lo tanto, ambas son soluciones de la ecuación con fracciones algebraicas.

Ejercicio 4

Resuelve la siguiente ecuación fraccionaria de segundo grado:

$\cfrac{1}{(x-2)^2} - \cfrac{9}{16} = \cfrac{2}{x-2}$

Ver solución

Para solucionar las ecuaciones fraccionarias, primero debemos averiguar el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones algebraicas:

$m.c.m.((x-2)^2,16,x-2) =(x-2)^2\cdot 16$

Luego, debemos multiplicar cada término fraccionario por el mcm hallado en el paso anterior:

$\cfrac{(x-2)^2\cdot 16 \cdot 1}{(x-2)^2} - \cfrac{(x-2)^2\cdot 16 \cdot 9}{16} = \cfrac{(x-2)^2\cdot 16 \cdot 2}{x-2}$

Eliminamos las fracciones algebraicas dividiendo el mcm entre cada denominador:

$\cfrac{\cancel{(x-2)^2}\cdot 16 \cdot 1}{\cancel{(x-2)^2}} - \cfrac{(x-2)^2\cdot \cancel{16} \cdot 9}{\cancel{16}} = \cfrac{(x-2)^{\cancel{2}}\cdot 16 \cdot 2}{\cancel{x-2}}$

$16 \cdot 1 - (x-2)^2\cdot 9 = (x-2)\cdot 16 \cdot 2$

Calculamos la igualdad notable con la fórmula del cuadrado de una diferencia:

$16 \cdot 1 - (x^2+2^2-2\cdot x \cdot 2)\cdot 9 = (x-2)\cdot 16 \cdot 2$

$16 \cdot 1 - (x^2+4-4x)\cdot 9 = (x-2)\cdot 16 \cdot 2$

Usamos la propiedad distributiva para resolver los paréntesis:

$16 - (9x^2+36-36x) = (x-2)\cdot 32$

$16 - 9x^2-36+36x = 32x-64$

Y ahora calculamos la la ecuación de segundo grado obtenida. Para ello, pasamos todos los elementos al lado izquierdo de la ecuación:

$16 - 9x^2-36+36x - 32x+64=0$

Sumamos y restamos los términos semejantes:

$- 9x^2 +4x +44=0$

Aplicamos la fórmula general de las ecuaciones cuadráticas para solucionarla:

$\begin{aligned} x & = \cfrac{-b\pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} \\[2ex] &=\cfrac{-4 \pm \sqrt{4^2 -4\cdot (-9) \cdot 44}}{2\cdot (-9)} \\[2ex] &= \cfrac{-4 \pm \sqrt{16 +1584}}{-18} \\[2ex] &= \cfrac{-4 \pm \sqrt{1600}}{-18} \\[1.5ex] &=\cfrac{-4 \pm 40}{-18} = \begin{cases} \cfrac{-4+40}{-18} = \cfrac{36}{-18} = \bm{-2} \\[3ex] \cfrac{-4-40}{-18} = \cfrac{-44}{-18} = \mathbf{\cfrac{22}{9}} \end{cases} \end{aligned}$

Ahora debemos corroborar que los resultados obtenidos sean realmente soluciones de la ecuación fraccionaria. Por lo que evaluamos la ecuación en cada valor:

$\cfrac{1}{(-2-2)^2} - \cfrac{9}{16} = \cfrac{2}{-2-2}$