▷ Ecuaciones trigonométricas

Aquí encontrarás qué son las ecuaciones trigonométricas. También te explicamos cómo se resuelven las ecuaciones trigonométricas solucionando un ejemplo paso a paso y, finalmente, podrás practicar con 10 ejercicios resueltos.

Índice

¿Qué son las ecuaciones trigonométricas?

Las ecuaciones trigonométricas son ecuaciones en las que la incógnita aparece en una función trigonométrica (normalmente en el seno, el coseno o la tangente). Por lo tanto, para resolver ecuaciones trigonométricas se deben utilizar las identidades trigonométricas.

Para poder calcular una ecuación trigonométrica es importante que domines las fórmulas de la trigonometría, así que antes de pasar a la explicación de cómo resolver ecuaciones trigonométricas te recomiendo que hagas un ⬇⬇repaso de las identidades trigonométricas.⬇⬇

Mostrar identidades trigonométricas

Fórmula que relaciona las tres razones trigonométricas principales:

$tan(x)=\cfrac{sen(x)}{cos(x)}$

Identidad trigonométrica fundamental:

$sen^2 (x) + cos^2(x)=1$

Relaciones trigonométricas derivadas de la fundamental:

$1+tan^2 (x) = \cfrac{1}{cos^2(x)} = sec^2(x)$

$1+cot^2 (x) = \cfrac{1}{sen^2(x)} = cosec^2(x)$

Ángulos opuestos:

$sen (-x) = -sen(x)$

$cos(-x) = cos(x)$

$tan(-x) =-tan(x)$

Suma de dos ángulos:

$sen (x+y) = sen(x)cos(y) + cos(x) sen(y)$

$cos (x+y) = cos(x)cos(y) - sen(x) sen(y)$

$tan(x+y) =\cfrac{tan(x) + tan(y)}{1-tan(x) tan(y)}$

Diferencia de dos ángulos:

$sen (x-y) = sen(x)cos(y)- cos(x) sen(y)$

$cos (x-y) = cos(x)cos(y)+ sen(x) sen(y)$

$tan(x-y) =\cfrac{tan(x)- tan(y)}{1+tan(x) tan(y)}$

Ángulo doble:

$sen (2x) = 2sen(x)cos(x)$

$cos (2x) = cos^2(x)-sen^2(x)$

$tan(2x) =\cfrac{2tan(x)}{1-tan^2(x)}$

Ángulo mitad:

$\displaystyle sen \left(\frac{x}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1-cos(x)}{2}}$

$\displaystyle cos \left(\frac{x}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1+cos(x)}{2}}$

$\displaystyle tan \left(\frac{x}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1-cos(x)}{1+cos(x)}}$

Suma y resta de senos y cosenos:

$\displaystyle sen(x)+sen(y)=2sen \left(\frac{x+y}{2} \right)cos \left(\frac{x-y}{2} \right)$

$\displaystyle sen(x)-sen(y)=2cos \left(\frac{x+y}{2} \right)sen \left(\frac{x-y}{2} \right)$

$\displaystyle cos(x)+cos(y)=2cos \left(\frac{x+y}{2} \right)cos \left(\frac{x-y}{2} \right)$

$\displaystyle cos(x)-cos(y)=-2sen \left(\frac{x+y}{2} \right)sen \left(\frac{x-y}{2} \right)$

Producto de senos y cosenos:

$\displaystyle sen(x)\cdot sen(y)=\frac{1}{2}\Bigl[cos(x-y)-cos(x+y)\Bigr]$

$\displaystyle cos(x)\cdot cos(y)=\frac{1}{2}\Bigl[cos(x+y)+cos(x-y)\Bigr]$

$\displaystyle sen(x)\cdot cos(y)=\frac{1}{2}\Bigl[sen(x+y)+sen(x-y)\Bigr]$

Cómo resolver ecuaciones trigonométricas

Para resolver una ecuación trigonométrica se deben hacer los siguientes pasos:

Aplicar las identidades trigonométricas hasta obtener una sola función trigonométrica (seno, coseno, tangente,…) en la ecuación.
Hacer la inversa de la función trigonométrica (arcoseno, arcocoseno, arcotangente…) de la ecuación.
Hallar todos los ángulos que son solución de la ecuación trigonométrica.

A veces no se puede obtener una sola función trigonométrica en la ecuación, en tal caso normalmente se debe extraer (o sacar) factor común. Pero no te preocupes, para que puedas ver exactamente cómo se hacen las ecuaciones trigonométricas, hemos resuelto un ejemplo paso a paso a continuación. También encontrarás más ecuaciones trigonométricas resueltas al final de esta página.

Ejemplo de una ecuación trigonométrica resuelta

Vista la teoría de las ecuaciones trigonométricas, vamos a explicar la resolución de un ejemplo paso a paso para que puedas ver cómo se calculan este tipo de ecuaciones:

$cos (30º+x)-sen (x)=0$

En el primer miembro de la ecuación trigonométrica tenemos un coseno que tiene como argumento una suma de dos ángulos (30º y el ángulo incógnita). Por lo tanto, podemos aplicar la fórmula del coseno de la suma de dos ángulos para desarrollar la expresión:

$cos (x+y) = cos(x)cos(y) - sen(x) sen(y)$

$cos(30º)cos(x)-sen(30º)sen(x)-sen(x)=0$

Sustituimos el seno y el coseno de 60º por su valor numérico:

$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}cos(x)-\frac{1}{2}sen(x)-sen(x)=0$

Para facilitar los cálculos en la ecuación trigonométrica, eliminamos las fracciones multiplicando toda la ecuación por 2:

$\displaystyle 2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}cos(x)-2\cdot\frac{1}{2}sen(x)-2\cdot sen(x)=2\cdot 0$

$\displaystyle\sqrt{3}cos(x)-sen(x)-2sen(x)=0$

Los dos senos que aparecen en la ecuación trigonométrica tienen el mismo argumento, así que los podemos agrupar:

$\displaystyle\sqrt{3}cos(x)-3sen(x)=0$

Ten presente que las razones trigonométricas solamente se pueden sumar (o restar) si tienen exactamente el mismo argumento:

$sen(x)+2sen(x)=3sen(x)$

En cambio, no se pueden sumar (ni restar) los argumentos de dos razones trigonométricas cuyos argumentos son diferentes:

$\color{red}\bm{\times}\color{black} \ sen(x)+sen(2x)\neq sen(3x) \ \color{red}\bm{\times}$

Es importante tener esto en cuenta ya que resulta bastante frecuente equivocarse haciendo estas operaciones.

Ahora tenemos que encontrar la manera para que solo haya una razón trigonométrica en la ecuación. Para ello, podemos utilizar la fórmula de la tangente ya que relaciona el seno con el coseno. Por lo que dividimos toda la ecuación trigonométrica entre el coseno de x:

$\cfrac{\sqrt{3}cos(x)}{cos(x)}-\cfrac{3sen(x)}{cos(x)}=\cfrac{0}{cos(x)}$

$\cfrac{\sqrt{3}\cancel{cos(x)}}{\cancel{cos(x)}}-\cfrac{3sen(x)}{cos(x)}=0$

$\sqrt{3}-\cfrac{3sen(x)}{cos(x)}=0$

La tangente es igual al seno dividido entre el coseno, por tanto, podemos sustituir el cociente de la ecuación por la tangente de x:

$tan(x)=\cfrac{sen(x)}{cos(x)}$

$\sqrt{3}-3tan(x)=0$

Y de esta forma hemos conseguido que haya una única función trigonométrica en la ecuación. Ahora despejamos la tangente:

$-3tan(x)=-\sqrt{3}$

$tan(x)=\cfrac{-\sqrt{3}}{-3}$

$tan(x)=\cfrac{\sqrt{3}}{3}$

Una vez tenemos la función trigonométrica de la ecuación despejada, podemos hallar el valor de x haciendo la inversa de dicha función trigonométrica. En este caso, hacemos el arcotangente:

$\displaystyle x = arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$

Y calculamos el valor del ángulo con la calculadora:

$x=30º$

Sin embargo, la tangente del primer cuadrante es igual a la tangente del tercer cuadrante, por lo tanto, el ángulo 210º también puede ser la solución de la ecuación trigonométrica. Y, además, los valores de las razones trigonométricas se van repitiendo cada 360º, así que todas las soluciones de la ecuación trigonométrica son:

$x=30º+180k \qquad k\in \mathbb{N}$

Esto significa que las soluciones de una ecuación trigonométrica son infinitas en general, aunque normalmente se dan los valores que están comprendidos entre 0 y 360 grados (0 y 2π radianes).

Ejercicios resueltos de ecuaciones trigonométricas

Una vez hemos visto toda la teoría de las ecuaciones trigonométricas, puedes practicar con los siguientes ejercicios resueltos paso a paso de ecuaciones trigonométricas. En general, las ecuaciones trigonométricas resueltas son de nivel de ESO y de Bachillerato, y están ordenadas por dificultad: las primeras ecuaciones son más fáciles y las últimas ecuaciones más difíciles.

👇👇👇¡Si tienes alguna duda sobre la resolución de alguna ecuación trigonométrica, no dudes en escribirla en los comentarios!👇👇👇

Ejercicio 1

Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica con fracciones:

$\displaystyle \frac{sen(2x)}{cos(x)}=1$

Ver solución

Lo primero que debemos hacer para resolver esta ecuación trigonométrica es aplicar la fórmula del seno del ángulo doble:

$sen(2x)=2sen(x)cos(x)$

$\displaystyle \frac{2sen(x)cos(x)}{cos(x)}=1$

Ahora podemos quitar la fracción de la ecuación trigonométrica simplificando los cosenos:

$\displaystyle \frac{2sen(x)\cancel{cos(x)}}{\cancel{cos(x)}}=1$

$\displaystyle 2sen(x)=1$

Despejamos el seno:

$\displaystyle sen(x)=\frac{1}{2}$

Y calculamos el arcoseno de un medio con la calculadora:

$\displaystyle x=arcsen\left(\frac{1}{2}\right)$

$\displaystyle x=30º$

El seno de dos ángulos suplementarios son equivalentes, por tanto, x=150 también es una solución de la ecuación trigonométrica:

$\displaystyle x=150º$

De manera que todas las soluciones de la ecuación trigonométrica son:

$\bm{30º \ + \ 360k} \qquad k\in \mathbb{N}$

$\bm{150º \ + \ 360k} \qquad k\in \mathbb{N}$

Ejercicio 2

Halla los valores de x entre 0º y 360º que verifican siguiente ecuación trigonométrica:

$sen^2(x)-3cos^2(x)=0$

Ver solución

Primero de todo, aplicamos la identidad trigonométrica fundamental para poner toda la ecuación en función de una sola razón trigonométrica:

$sen^2 (x) + cos^2(x)=1 \ \longrightarrow \ sen^2 (x) =1- cos^2(x)$

$1- cos^2(x)-3cos^2(x)=0$

Podemos agrupar los dos cosenos al cuadrado porque tienen el mismo argumento:

$1-4cos^2(x)=0$

Despejamos el coseno:

$-4cos^2(x)=-1$

$cos^2(x)=\cfrac{-1}{-4}$

$cos^2(x)=\cfrac{1}{4}$

$\displaystyle cos(x)=\sqrt{\frac{1}{4}}$

$\displaystyle cos(x)=\pm \frac{1}{2}$

Y hacemos el arcocoseno de cada uno de los valores calculados (el positivo y el negativo):

$\displaystyle x= arccos \left(\frac{1}{2}\right)$

$x= 60º\qquad x= 300º$

$\displaystyle x= arccos \left(-\frac{1}{2}\right)$

$x= 120º \qquad x= 240º$

En definitiva, las cuatro soluciones de la ecuación trigonométrica son:

$\bm{x= 60º\qquad x= 120º \qquad x= 240º\qquad x= 300º}$

En este ejercicio solo nos piden las soluciones entre 0 y 360 grados, así que no es necesario poner más valores que estos cuatro.

Ejercicio 3

Calcula todas las soluciones de la siguiente ecuación trigonométrica:

$tan(x)-sen(x)=0$

Ver solución

En primer lugar, la tangente es equivalente al seno dividido entre el coseno, por lo que podemos sustituir la tangente de x por dicho cociente:

$\displaystyle tan(x)=\frac{sen(x)}{cos(x)}$

$\displaystyle \frac{sen(x)}{cos(x)}-sen(x)=0$

Operamos para eliminar el denominador de la ecuación trigonométrica:

$\displaystyle \frac{sen(x)}{cos(x)}-\frac{sen(x)\cdot cos(x)}{cos(x)} =0$

$\displaystyle \frac{sen(x)-sen(x) cos(x)}{cos(x)} =0$

$sen(x)-sen(x)cos(x)=0$

Extraemos factor común:

$sen(x)\bigl(1-cos(x)\bigr)=0$

Igualamos cada factor a 0:

$\displaystyle sen(x)\bigl(1-cos(x)\bigr)=0 \begin{cases} sen(x)=0 \\[2ex] 1-cos(x)=0 \end{cases}$

Y solucionamos cada una de las dos ecuaciones trigonométricas resultantes por separado:

$sen(x)=0$

$x= arcsen(0)$

$x= 0+180k \quad k\in \mathbb{N}$

$1-cos(x)=0$

$cos(x)=1$

$x=arccos(1)$

$x= 0+360k \quad k\in \mathbb{N}$

Las soluciones halladas con la expresión sen(x)=0 incluyen a las soluciones encontradas con la otra expresión, por lo que todas las soluciones de la ecuación trigonométrica del problema son:

$\bm{0º \ + \ 180k} \qquad k\in \mathbb{N}$

Ejercicio 4

Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica:

$cos(x)-cos(3x)=0$

Ver solución

En este problema podemos utilizar la fórmula trigonométrica de la diferencia de dos cosenos para convertir la resta en una multiplicación:

$\displaystyle cos(x)-cos(y)=-2sen \left(\frac{x+y}{2} \right)sen \left(\frac{x-y}{2} \right)$

$\displaystyle -2sen \left(\frac{x+3x}{2} \right)sen \left(\frac{x-3x}{2} \right)=0$

$\displaystyle -2sen \left(\frac{4x}{2} \right)sen \left(\frac{-2x}{2} \right)=0$

$-2sen (2x) sen (-x)=0$

Además, el seno del ángulo opuesto es igual al seno cambiado de signo, por tanto:

$sen (-x) = -sen(x)$

$-2sen (2x)\bigl(- sen (x)\bigr)=0$

$2sen (2x)sen (x)=0$

Para despejar los senos de la ecuación trigonométrica pasamos el 2 dividiendo al otro miembro:

$sen(2x)sen(x)=\cfrac{0}{2}$

$sen(2x)sen(x)=0$

De forma que tenemos un producto de dos factores igualados a 0. Entonces, para que se cumpla la ecuación trigonométrica uno de los dos factores debe ser nulo, por lo tanto, igualamos cada factor a cero:

$sen(2x)=0$

$2x= arcsen(0)$

$\begin{cases} 2x= 0º \ \longrightarrow \ x=0º \\[2ex] 2x=180º \ \longrightarrow \ x=90º \end{cases}$

$x= 0º+90k \quad k\in \mathbb{N}$

$sen(x)=0$

$x= arcsen(0)$

$\begin{cases} x= 0º \\[2ex] x=180º \end{cases}$

$x= 0º+180k \quad k\in \mathbb{N}$

Las soluciones obtenidas con el primer factor ya incluyen a las soluciones calculadas con el segundo factor, así que todas las soluciones de la ecuación trigonométrica del ejercicio quedan representadas por la siguiente expresión algebraica:

$\bm{0º \ + \ 90k} \qquad k\in \mathbb{N}$

Ejercicio 5

Soluciona la siguiente ecuación trigonométrica:

$tan (2x)tan (x)=1$

Ver solución

Primero aplicamos la fórmula de la tangente del ángulo doble para desarrollar la expresión:

$tan(2x) =\cfrac{2tan(x)}{1-tan^2(x)}$

$\cfrac{2tan(x)}{1-tan^2(x)}\cdot tan (x)=1$

$\cfrac{2tan^2(x)}{1-tan^2(x)}=1$

El denominador de la ecuación trigonométrica esta dividiendo a todo el miembro izquierdo, así que lo podemos pasar multiplicando al otro miembro:

$2tan^2(x)=1\cdot \bigl(1-tan^2(x)\bigr)$

$2tan^2(x)=1-tan^2(x)$

Agrupamos términos semejantes:

$2tan^2(x)+tan^2(x)=1$

$3tan^2(x)=1$

Y despejamos la tangente haciendo la raíz cuadrada:

$\displaystyle tan^2(x)=\frac{1}{3}$

$\displaystyle tan(x)=\sqrt{\frac{1}{3}}$

$\displaystyle tan(x)=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$

Y, finalmente, calculamos el arcotangente de cada uno de los valores encontrados:

$\displaystyle tan(x)= +\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\displaystyle x= arctan \left(\frac{1}{\sqrt{3}}}\right)$

$x= 30º+180k \quad k\in \mathbb{N}$

$\displaystyle tan(x)= -\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\displaystyle x= arctan \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}}\right)$

$x= -30º+180k \quad k\in \mathbb{N}$

Por lo tanto, todas las soluciones de la ecuación trigonométrica de este ejericico son:

$\bm{30º \ + \ 180k} \qquad k\in \mathbb{N}$

$\bm{-30º \ + \ 180k} \qquad k\in \mathbb{N}$

Ejercicio 6

Calcula la siguiente ecuación trigonométrica:

$2sen^2(x)+3cos(x)=0$

Ver solución

En primer lugar, usamos la identidad trigonométrica fundamental para que solamente aparezcan cosenos en la ecuación:

$sen^2 (x) + cos^2(x)=1 \ \longrightarrow \ sen^2 (x) =1- cos^2(x)$

$2\bigl[1- cos^2(x)\bigr]+3cos(x)=0$

$2-2 cos^2(x)+3\cos(x)=0$

Si nos fijamos bien, ahora tenemos una ecuación de segundo grado en la que la incógnita es cos(x), de manera que podemos aplicar la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado para resolverla:

$-2 cos^2(x)+3\cos(x)+2=0$

$\begin{aligned} cos(x)&= \cfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\[2ex] & =\cfrac{-3\pm \sqrt{3^2-4\cdot (-2) \cdot 2}}{2\cdot (-2)} = \\[2ex] & = \cfrac{-3 \pm \sqrt{9+16}}{-4} = \\[2ex] &= \cfrac{-3 \pm \sqrt{25}}{-4}= \\[1.5ex] & =\cfrac{-3 \pm 5}{-4} = \begin{cases} \cfrac{-3+5}{-4}=\cfrac{2}{-4} =- \cfrac{1}{2} \\[3ex]\cfrac{-3-5}{-4}=\cfrac{-8}{-4} =2\end{cases} \end{aligned}$

Y, por último, hacemos el arcocoseno de cada uno de los valores hallados:

$\displaystyle cos(x)= -\frac{1}{2}$

$\displaystyle x= arccos \left(-\frac{1}{2}\right)$

$x= 120º+360k \quad k\in \mathbb{N}$

$x= 240º+360k \quad k\in \mathbb{N}$

$\displaystyle cos(x)= 2$

$\displaystyle x= arccos \left(2\right)$

$\displaystyle x=\cancel{\exists}$

El arcocoseno de un número mayor que 1 no existe, por lo que este valor no nos proporciona ninguna solución.

En conclusión, todas las soluciones de la ecuación trigonométrica son:

$\bm{120º \ + \ 360k} \qquad k\in \mathbb{N}$

$\bm{240º \ + \ 360k} \qquad k\in \mathbb{N}$

Ejercicio 7

Determina la solución de la siguiente ecuación trigonométrica:

$sen(4x)+sen(x)=0$

Ver solución

En este ejercicio podemos emplear la fórmula trigonométrica de la adición de dos senos para convertir la suma en un producto:

$\displaystyle sen(x)+sen(y)=2sen \left(\frac{x+y}{2} \right)cos \left(\frac{x-y}{2} \right)$

$\displaystyle 2sen \left(\frac{4x+x}{2} \right)cos \left(\frac{4x-x}{2} \right)=0$

$\displaystyle 2sen \left(\frac{5x}{2} \right)cos \left(\frac{3x}{2} \right)=0$

Para solo tener razones trigonométricas en la ecuación, pasamos el 2 dividiendo al otro lado:

$\displaystyle sen \left(\frac{5x}{2} \right)cos \left(\frac{3x}{2} \right)=\cfrac{0}{2}$

$\displaystyle sen \left(\frac{5x}{2} \right)cos \left(\frac{3x}{2} \right)=0$

De forma que tenemos un producto entre dos factores igualados a 0. Así pues, para que se verifique la ecuación trigonométrica el seno o el coseno tiene que anularse, por lo que igualamos cada término a 0:

$\displaystyle sen \left(\frac{5x}{2} \right)=0$

$\displaystyle \frac{5x}{2}= arcsen(0)$

$\begin{cases} \displaystyle \frac{5x}{2} = 0º \ \longrightarrow \ x=0º \\[4ex] \displaystyle \frac{5x}{2}=180º \ \longrightarrow \ x=72º \end{cases}$

$x= 0º+144k \quad k\in \mathbb{N}$

$x= 72º+144k \quad k\in \mathbb{N}$

El 144 se obtiene de multiplicar 360º (1 vuelta) por 2 y dividirlo entre 5. Ya que no es necesario hacer toda una vuelta para encontrar otro ángulo que cumpla la igualdad, sino 144º.

$\displaystyle cos \left(\frac{3x}{2} \right)=0$

$\displaystyle \frac{3x}{2}= arccos(0)$

$\begin{cases} \displaystyle \frac{3x}{2}= 90º \ \longrightarrow \ x=60º \\[4ex] \displaystyle\frac{3x}{2}= 270º \ \longrightarrow \ x=180º \end{cases}$

$x= 60º+240k \quad k\in \mathbb{N}$

$x= 180º+240k \quad k\in \mathbb{N}$

El 240 se obtiene de multiplicar 360º (1 vuelta) por 2 y dividirlo entre 3. Ya que no es necesario hacer toda una vuelta para encontrar otro ángulo que cumpla la igualdad, sino 240º.

De modo que todas las soluciones de la ecuación trigonométrica son:

$\bm{0º \ + \ 144k} \qquad k\in \mathbb{N}$

$\bm{72º \ + \ 144k} \qquad k\in \mathbb{N}$

$\bm{60º \ + \ 240k} \qquad k\in \mathbb{N}$

$\bm{180º \ + \ 240k} \qquad k\in \mathbb{N}$

Ejercicio 8

Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica:

$sen(2x)cos (x)=6sen^3(x)$

Ver solución

Primero aplicamos la fórmula del seno de un ángulo doble:

$sen (2x) = 2sen(x)cos(x)$

$2sen(x)cos(x)cos (x)=6sen^3(x)$

$2sen(x)cos^2(x)=6sen^3(x)$

$2sen(x)cos^2(x)-6sen^3(x)=0$

En segundo lugar, utilizamos la relación pitagórica de la trigonometría para sustituir el coseno por un seno, así solamente habrá senos en la ecuación:

$sen^2 (x) + cos^2(x)=1 \ \longrightarrow \ cos^2 (x) =1- sen^2(x)$

$2sen(x)\bigl(1- sen^2(x)\bigr)-6sen^3(x)=0$

$2sen(x)- 2sen^3(x)-6sen^3(x)=0$

$2sen(x)-8sen^3(x)=0$

Sacamos factor común:

$sen(x)\bigl[2-8sen^2(x)\bigr]=0$

Igualamos cada factor a cero y resolvemos la ecuación resultante:

$\displaystyle sen (x)=0$

$\displaystyle x= arcsen(0)$

$\begin{cases} x = 0º \\[2ex] x=180º \end{cases}$

$x= 0º+180k \quad k\in \mathbb{N}$

$2-8sen^2(x)=0$

$-8sen^2(x)=-2$

$sen^2(x)=\cfrac{-2}{-8}$

$\displaystyle sen^2(x)=\frac{1}{4}$

$\displaystyle sen(x)=\sqrt{\frac{1}{4}}$

$\displaystyle sen(x)=\pm\frac{1}{2}$

$\begin{cases} \displaystyle x= arcsen\left(+\frac{1}{2}\right) \ \longrightarrow \ \begin{cases} x=30º \\ x=150º \end{cases} \\[4ex] \displaystyle x= arcsen\left(-\frac{1}{2}\right) \ \longrightarrow \ \begin{cases} x=-30º \\ x=210º \end{cases} \end{cases}$

$x= 30º+180k \quad k\in \mathbb{N}$

$x= -30º+180k \quad k\in \mathbb{N}$

Por lo tanto las soluciones de la ecuación trigonométrica del ejercicio son:

$\bm{0º \ + \ 180k} \qquad k\in \mathbb{N}$

$\bm{30º \ + \ 180k} \qquad k\in \mathbb{N}$

$\bm{-30º \ + \ 180k} \qquad k\in \mathbb{N}$

Ejercicio 9

Soluciona la siguiente ecuación trigonométrica:

$\displaystyle 2sen ^2\left(\frac{x}{2}\right)+cos (2x)=0$

Ver solución

En primer lugar, aplicamos la fórmula trigonométrica del seno del ángulo mitad:

$\displaystyle sen \left(\frac{x}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1-cos(x)}{2}}$

$\displaystyle 2\left(\sqrt{\frac{1-cos(x)}{2}}\right)^2+cos (2x)=0$

$\displaystyle 2\cdot \frac{1-cos(x)}{2}}+cos (2x)=0$

$\displaystyle 1-cos(x)+cos (2x)=0$

Luego empleamos la fórmula del coseno del ángulo doble:

$cos (2x) = cos^2(x)-sen^2(x)$

$\displaystyle 1-cos(x)+cos^2(x)-sen^2(x)=0$

Sustituimos el cuadrado del seno por 1 menos el cuadrado del coseno:

$sen^2 (x) + cos^2(x)=1 \ \longrightarrow \ sen^2 (x) =1- cos^2(x)$

$\displaystyle 1-cos(x)+cos^2(x)-\bigl(1- cos^2(x)\bigr)=0$

$\displaystyle 1-cos(x)+cos^2(x)-1+ cos^2(x)=0$

$\displaystyle -cos(x)+2cos^2(x)=0$

Y resolvemos la ecuación de segundo grado incompleta sacando factor común:

$\displaystyle cos(x)\bilg(-1+2cos(x)\bigr)=0$

$\displaystyle cos(x)=0$

$\displaystyle x= arccos \left(0\right)$

$x= 90º+180k \quad k\in \mathbb{N}$

$\displaystyle -1+2cos(x)= 0$

$\displaystyle cos(x)= \frac{1}{2}$

$\displaystyle x= arccos \left(\frac{1}{2}\right)$

$x= 60º+360k \quad k\in \mathbb{N}$

$x= 300º+360k \quad k\in \mathbb{N}$

De modo que las soluciones de la ecuación trigonométrica de este problema son:

$\bm{90º \ + \ 180k} \qquad k\in \mathbb{N}$

$\bm{60º \ + \ 360k} \qquad k\in \mathbb{N}$

$\bm{300º \ + \ 360k} \qquad k\in \mathbb{N}$

Ejercicio 10

Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica con fracciones:

$\displaystyle \frac{cos(x)+sen(x)}{cos(x)-sen(x)}-\frac{cos(x)-sen(x)}{cos(x)+sen(x)}=1$

Ver solución

La ecuación trigonométrica está llena de senos y cosenos, por tanto, una manera de simplificarla es mediante la relación entre el seno, el coseno y la tangente. Así que dividimos cada término de las dos fracciones de la ecuación entre el coseno de x para obtener tangentes en la ecuación:

$\displaystyle \cfrac{\displaystyle\frac{cos(x)}{cos(x)}+\frac{sen(x)}{cos(x)}}{\displaystyle\frac{cos(x)}{cos(x)}-\frac{sen(x)}{cos(x)}}-\cfrac{\displaystyle\frac{cos(x)}{cos(x)}-\frac{sen(x)}{cos(x)}}{\displaystyle\frac{cos(x)}{cos(x)}+\frac{sen(x)}{cos(x)}}=1$

$\displaystyle \cfrac{1+tan(x)}{1-tan(x)}-\cfrac{1-tan(x)}{1+tan(x)}=1$

Restamos las dos fracciones de la ecuación reduciéndolas a común denominador:

$\displaystyle \cfrac{\bigl(1+tan(x)\bigr)\bigl(1+tan(x)\bigr)}{\bigl(1-tan(x)\bigr)\bigl(1+tan(x)\bigr)}-\cfrac{\bigl(1-tan(x)\bigr)\bigl(1-tan(x)\bigr)}{\bigl(1+tan(x)\bigr)\bigl(1-tan(x)\bigr)}=1$

$\displaystyle \cfrac{1+2tan(x)+tan^2(x)}{\bigl(1-tan(x)\bigr)\bigl(1+tan(x)\bigr)}-\cfrac{1-2tan(x)+tan^2(x)}{\bigl(1+tan(x)\bigr)\bigl(1-tan(x)\bigr)}=1$

$\displaystyle \cfrac{1+2tan(x)+tan^2(x)-\bigl[1-2tan(x)+tan^2(x)\bigr]}{\bigl(1+tan(x)\bigr)\bigl(1-tan(x)\bigr)}=1$

$\displaystyle \cfrac{1+2tan(x)+tan^2(x)-1+2tan(x)-tan^2(x)}{\bigl(1+tan(x)\bigr)\bigl(1-tan(x)\bigr)}=1$

$\displaystyle \cfrac{4tan(x)}{\bigl(1+tan(x)\bigr)\bigl(1-tan(x)\bigr)}=1$

Si nos fijamos, el denominador de la fracción corresponde a la identidad notable del producto de una suma por una diferencia, por lo que podemos simplificar la expresión utilizando dicha fórmula:

$\displaystyle \cfrac{4tan(x)}{1-tan^2(x)}=1$

Dividimos ambos miembros de la ecuación entre 2 para poder hacer el siguiente paso:

$\displaystyle \cfrac{2tan(x)}{1-tan^2(x)}=\cfrac{1}{2}$

Ahora simplificamos la expresión algebraica que tenemos en el primer miembro aplicando la fórmula de la tangente del ángulo doble:

$tan(2x) =\cfrac{2tan(x)}{1-tan^2(x)}$

$\displaystyle tan(2x)=\cfrac{1}{2}$

Y, finalmente, efectuamos el arcotangente con la calculadora y resolvemos la ecuación:

$\displaystyle 2x=arctan\left(\frac{1}{2}\right)$

$\displaystyle 2x=26,56º$

$\displaystyle x=\frac{26,56º}{2}$

$\displaystyle x=13,28º$

$\bm{13,28º \ + \ 90k} \qquad k\in \mathbb{N}$

16 comentarios en “Ecuaciones trigonométricas”

Patricia
16/10/2021 a las 01:00

Muchas gracias!

Responder
1. Ejercicios de Ecuaciones
  18/10/2021 a las 09:39
  
  ¡Gracias a ti Patricia!
Patricia
16/10/2021 a las 15:18

En el último ejercicio (nro 10), hay un error en el resultado. Debe ser 13,28° + 180°.k, puesto que el valor se repite en 193,28°. Muchas gracias por los ejercicios y sus resoluciones!

Responder
1. Ejercicios de Ecuaciones
  18/10/2021 a las 09:41
  
  Hola Patricia,
  
  El ejercicio está bien. Tienes razón que el valor se repite en 193,28º, pero la solución del ejercicio es 13,28º+90º·k y esta solución ya incluye los valores que tú dices (13,28+90·2=193,28).
Raúl
19/10/2021 a las 19:04

No entendía muy bien cómo se hacían las ecuaciones trigonométricas y estaba bastante desesperado, hasta que me encontré con esta página. Me ha ayudado muchísimo, muchas gracias!

Responder
1. Ejercicios de Ecuaciones
  20/10/2021 a las 13:06
  
  ¡Me alegro por ti Raúl! ¡Y muchísimas gracias por tu comentario! 😉
Eee
13/11/2021 a las 06:58

3 cos^2 x = 1 – cos^2 x
Me ayudan por fa😫

Responder
1. Ejercicios de Ecuaciones
  15/11/2021 a las 14:39
  
  Hola Eee,
  
  En este caso, los dos cosenos están elevados al cuadrado y tienen el mismo argumento, por lo que se pueden agrupar:
  
  $3\text{cos}^2(x)=1-\tex{cos}^2(x)$
  
  $3\text{cos}^2(x)+\tex{cos}^2(x)=1$
  
  $4\text{cos}^2(x)=1$
  
  Ahora despejamos el coseno:
  
  $\text{cos}^2(x)=\cfrac{1}{4}$
  
  $\displaystyle\text{cos}(x)=\sqrt{\frac{1}{4}}$
  
  $\displaystyle\text{cos}(x)=\frac{1}{2}$
  
  Y calculamos el arcocoseno de un medio utilizando la calculadora:
  
  $\displaystyle x=\text{arccos}\left(\frac{1}{2}\right)$
  
  $\displaystyle x=60º+360ºk \qquad k\in \mathbb{N}$
  $\displaystyle x=300º+360ºk \qquad k\in \mathbb{N}$
Ivy Antonieta
16/11/2021 a las 00:24

Me sirve bastante, pero aun hay mucho por aprender, gracias😉🇨🇱 saludos desde Chile.

Responder
1. Ejercicios de Ecuaciones
  19/11/2021 a las 13:43
  
  ¡Gracias por comentar Ivy! ¡Me alegro de que te sirva!
Javier
22/11/2021 a las 12:13

2senB=tanB

Responder
1. Ejercicios de Ecuaciones
  25/11/2021 a las 09:53
  
  Javier, lo primero que podemos hacer para solucionar esta ecuación trigonométrica es convertir la tangente en el cociente del seno partido por el coseno:
  $2sen(B)=tan(B)$
  
  $2sen(B)=\cfrac{sen(B)}{cos(B)}$
  
  Ahora podemos eliminar los senos de la ecuación de la siguiente manera:
  $2cos(B)=\cfrac{sen(B)}{sen(B)}$
  
  $2cos(B)=1$
  
  Despejamos el coseno:
  $cos(B)=\cfrac{1}{2}$
  
  De modo que las soluciones de la ecuación trigonométrica son:
  $\displaystyle B=arccos\left(\frac{1}{2}\right)$
  
  $\displaystyle B=60º+360ºk \quad k\in\mathbb{N}$
  $\displaystyle B=300º+360ºk \quad k\in\mathbb{N}$
FRANCISCO
15/12/2021 a las 02:53

Excelente! muy didáctico. Felicitaciones! y gracias por compartir tu conocimiento!

Responder
1. Ejercicios de Ecuaciones
  19/12/2021 a las 12:07
  
  ¡Muchas gracias Francisco! ¡Se agradecen mucho estos comentarios tan positivos!
ANDREA
06/01/2022 a las 16:53

Dar los valores de A comprendidos entre 0 grados y 360 grados que satisfacen a cada una de las siguientes ecuaciones
ctg A= raíz cuadrada de 3 sobre 3

Responder
1. Ejercicios de Ecuaciones
  09/01/2022 a las 19:38
  
  Hola Andrea,
  
  En este caso no es necesario hacer ningún paso para resolver la ecuación trigonométrica, simplemente debes hallar con la calculadora la inversa de la cotangente de $\sqrt{3}/3$ . Así pues, los valores que pedía el ejercicio son:
  
  $\alpha_1 =60º\qquad \alpha_2=240º$

¿Qué son las ecuaciones trigonométricas?

Cómo resolver ecuaciones trigonométricas

Ejemplo de una ecuación trigonométrica resuelta

Ejercicios resueltos de ecuaciones trigonométricas

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Ejercicio 5

Ejercicio 6

Ejercicio 7

Ejercicio 8

Ejercicio 9

Ejercicio 10

16 comentarios en “Ecuaciones trigonométricas”

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