▷ Inecuaciones racionales (o inecuaciones fraccionarias)

En este post te explicamos qué es una inecuación racional (o fraccionaria) y cómo se resuelve. Encontrarás un ejemplo de una inecuación racional resuelta por pasos y, además, podrás practicar con ejercicios resueltos paso a paso de inecuaciones racionales.

Índice

¿Qué son las inecuaciones racionales (o fraccionarias)?

Las inecuaciones racionales, también llamadas inecuaciones fraccionarias, son desigualdades algebraicas en las que incógnita aparece en el numerador y en el denominador de una fracción, es decir, las inecuaciones racionales están formadas por fracciones algebraicas.

Por ejemplo, la siguiente desigualdad es una inecuación racional porque la incógnita x aparece tanto en el numerador como en el denominador de una fracción:

$\cfrac{x+3}{x^2-1}\le0$

Cómo resolver inecuaciones racionales (o fraccionarias)

Para resolver una inecuación racional o fraccionaria se deben hacer los siguientes pasos:

Operar con los términos para que en un miembro de la inecuación solamente haya una fracción algebraica, y en el otro miembro haya un 0.
Encontrar los puntos críticos de la inecuación, es decir, calcular los puntos que anulan el numerador y el denominador de la fracción.
Dividir la recta numérica en tramos con los valores calculados en el paso 2.
Evaluar un valor de cada tramo en la inecuación racional.
La solución de la inecuación racional son los tramos en los que se cumple la desigualdad.

Para acabar de entender cómo se hacen las inecuaciones racionales, en el siguiente apartado hemos resuelto paso a paso una inecuación de este tipo a modo de ejemplo.

Ejemplo de inecuación racional (o fraccionaria) resuelta

Vista la teoría sobre las inecuaciones racionales, también conocidas como inecuaciones fraccionarias, vamos a explicar paso a paso la resolución de una inecuación racional para que puedas ver un ejemplo:

$\cfrac{x+1}{x-5}\ge 0$

En este caso ya tenemos la fracción algebraica despejada en un miembro de la inecuación, y en el otro miembro solo hay un 0. Por lo que no es necesario hacer ninguna operación previa.

Entonces, tenemos que hallar los puntos críticos de la fracción algebraica, o dicho de otra forma, los puntos que anulan el numerador y el denominador. Para ello, igualamos el numerador y el denominador a cero y resolvemos las ecuaciones resultantes:

Puntos críticos del numerador

$x+1=0$

$x=-1$

Puntos críticos del denominador

$x-5=0$

$x=5$

De modo que hemos obtenido dos puntos críticos de la inecuación racional (x=-1 y x=5). Ahora tenemos que representar dichos puntos en la recta numérica:

Una vez hemos representado en la recta los valores hallados en el paso anterior, debemos comprobar qué tramo cumple con la inecuación. Para ello, cogemos cualquier número de cada tramo, lo sustituimos en la inecuación, y comprobamos si se cumple la desigualdad o no.

Tramo x<-1

Evaluamos x=-2 en la inecuación:

$\cfrac{-2+1}{-2-5}\ge 0$

$\cfrac{-1}{-7}\ge 0$

$\cfrac{1}{7}\ge 0$ ✅

Tramo -1<x<5

Evaluamos x=0 en la inecuación:

$\cfrac{0+1}{0-5}\ge 0$

$\cfrac{1}{-5}\ge 0$

$-\cfrac{1}{5}\ \cancel{\ge } \ 0$ ❌

Tramo x>5

Evaluamos x=6 en la inecuación:

$\cfrac{6+1}{6-5}\ge 0$

$\cfrac{7}{1}\ge 0$

$7\ge 0$ ✅

Si un número de un tramo cumple con la desigualdad, significa que todos los números de ese tramo también cumplen con la desigualdad. Por lo tanto, los tramos que cumplen con la inecuación racional son los extremos de la recta:

$cómo solucionar inecuaciones racionales o fraccionarias.png$

Como puedes ver, hemos representado el número -1 con un punto cerrado, porque la inecuación tiene el signo ≥. En cambio, el 5 se debe representar con un punto abierto porque es el punto donde se anula el denominador, y los puntos críticos del denominador siempre deben ser abiertos ya que cualquier número dividido entre 0 es una indeterminación.

Finalmente, debemos expresar la solución en forma de intervalo. El intervalo del tramo de la izquierda es (-∞,-1], y el intervalo del tramo de la derecha corresponde a (5,+∞). Por lo tanto, la solución de la inecuación racional es:

$x \in (-\infty, -1] \ \cup \ (5,+\infty)$

Ejercicios resueltos de inecuaciones racionales (o fraccionarias)

Una vez hemos visto toda la teoría de las inecuaciones racionales (o fraccionarias), te dejamos con varios ejercicios resueltos paso a paso de este tipo de inecuaciones. Están ordenados por dificultad pero, en general, encontrarás inecuaciones racionales resueltas tanto de nivel de ESO como de Bachillerato.

👇👇👇¡Si tienes alguna duda sobre la resolución de algún ejercicio o quieres que te resolvamos alguna inecuación racional, no dudes en escribirla en los comentarios!👇👇👇

Ejercicio 1

Resuelve la siguiente inecuación racional (o fraccionaria) con una incógnita:

$\cfrac{3x-3}{2x-8}<0$

Ver solución

En este caso, ya tenemos la fracción algebraica aislado en un lado de la inecuación, y en el otro lado solamente hay un 0. Por lo que no es necesario hacer ninguna operación previa.

Entonces, pasamos directamente a calcular los puntos críticos de la inecuación fraccionaria igualando el numerador y el denominador a cero:

Puntos críticos del numerador

$3x-3=0$

$3x=3$

$x=\cfrac{3}{3}$

$x=1$

Puntos críticos del denominador

$2x-8=0$

$2x=8$

$x=\cfrac{8}{2}$

$x=4$

Hemos obtenido 2 puntos críticos, así que la recta se divide en 3 tramos distintos. Ahora evaluamos un punto de cada tramo en la inecuación para ver qué tramos son la solución:

Tramo x<1

Evaluamos x=0 en la inecuación:

$\cfrac{3\cdot0-3}{2\cdot0-8}<0$

$\cfrac{-3}{-8}<0$

$\cfrac{3}{8}\ \cancel{<} \ 0$ ❌

Tramo 1<x<4

Evaluamos x=3 en la inecuación:

$\cfrac{3\cdot3-3}{2\cdot3-8}<0$

$\cfrac{6}{-2}<0$

$-3<0$ ✅

Tramo x>4

Evaluamos x=5 en la inecuación:

$\cfrac{3\cdot5-3}{2\cdot5-8}<0$

$\cfrac{12}{2}<0$

$6 \ \cancel{<} \ 0$ ❌

De modo que el tramo que cumple con la expresión de la inecuación fraccionaria es el del centro:

Tanto el punto x=1 como el punto x=4 son puntos abiertos porque la inecuación tiene el signo <.

Y, por lo tanto, la solución de la inecuación fraccionaria es:

$x \in (1,4)$

Ejercicio 2

Calcula la siguiente inecuación racional:

$\cfrac{5x}{x^2-4}\leq0$

Ver: cómo resolver ecuaciones cuadráticas incompletas

Ver solución

En primer lugar, calculamos los puntos críticos de la inecuación racional. Para ello, igualamos el numerador y el denominador a 0, y resolvemos la ecuación de primer grado y de segundo grado respectivamente:

Puntos críticos del numerador

$5x=0$

$x=\cfrac{0}{5}$

$x=0$

Puntos críticos del denominador

$x^2-4=0$

$x^2=4$

$x=\pm 2$

En este problema hemos hallado tres puntos críticos, así que la recta se divide en 4 tramos diferentes. Ahora evaluamos un punto de cada tramo en la inecuación racional para ver cuáles son los tramos que cumplen con la desigualdad:

Tramo x<-2

Evaluamos x=-3 en la inecuación:

$\cfrac{5\cdot (-3)}{(-3)^2-4}\leq0$

$\cfrac{-15}{5}\leq0$

$-3\leq 0$ ✅

Tramo -2<x<0

Evaluamos x=-1 en la inecuación:

$\cfrac{5\cdot (-1)}{(-1)^2-4}\leq0$

$\cfrac{-5}{-3}\leq0$

$\cfrac{5}{3}\ \cancel{\leq} \ 0$ ❌

Tramo 0<x<2

Evaluamos x=1 en la inecuación:

$\cfrac{5\cdot 1}{1^2-4}\leq0$

$\cfrac{5}{-3}\leq0$

$-\cfrac{5}{3}\leq 0$ ✅

Tramo x>2

Evaluamos x=3 en la inecuación:

$\cfrac{5\cdot 3}{3^2-4}\leq0$

$\cfrac{15}{5}\leq0$

$3 \ \cancel{\leq} \ 0$ ❌

De forma que los tramos que verifican la inecuación son:

inecuaciones racionales o fraccionarias 1 bachillerato

Fíjate que los puntos críticos -2 y +2 son puntos abiertos porque en ellos se anula el denominador, y por tanto la inecuación no tiene solución en esos puntos (cualquier número dividido entre 0 es una indeterminación). En cambio, el número 0 sí que está incluido porque corresponde al punto crítico del numerador y la inecuación tiene el signo ≤.

En definitiva, el conjunto solución de la inecuación racional viene determinado por los siguientes intervalos:

$x \in (-\infty,-2)\cup [0,2)$

Ejercicio 3

Determina la solución de la siguiente inecuación racional:

$\cfrac{2x}{x-5}>-3$

Ver solución

En este problema no tenemos un 0 en un lado de la inecuación, por tanto, primero debemos juntar todos los términos en una sola fracción. Así que cambiamos de lado el término independiente -3:

$\cfrac{2x}{x-5}+3>0$

Y multiplicamos y dividimos el número 3 por el denominador de la fracción para poder juntar los dos elementos posteriormente:

$\cfrac{2x}{x-5}+\cfrac{3\cdot (x-5)}{x-5}>0$

$\cfrac{2x}{x-5}+\cfrac{3x-15}{x-5}>0$

Una vez los dos términos tienen el mismo denominador, los podemos juntar en una sola fracción:

$\cfrac{2x+3x-15}{x-5}>0$

$\cfrac{5x-15}{x-5}>0$

Ahora sí, hallamos los puntos críticos de la inecuación racional igualando el numerador y el denominador a cero:

Puntos críticos del numerador

$5x-15=0$

$5x=15$

$x=\cfrac{15}{5}$

$x=3$

Puntos críticos del denominador

$x-5=0$

$x=5$

Hemos obtenido 2 puntos críticos, así que la recta real queda dividida en 3 tramos. Entonces, evaluamos un punto de cada tramo en la inecuación para ver qué tramos son la solución:

Tramo x<3

Evaluamos x=0 en la inecuación:

$\cfrac{5\cdot 0-15}{0-5}>0$

$\cfrac{-15}{-5}>0$

$3>0$ ✅

Tramo 3<x<5

Evaluamos x=4 en la inecuación:

$\cfrac{5\cdot 4-15}{4-5}>0$

$\cfrac{5}{-1}>0$

$-5\ \cancel{>} \ 0$ ❌

Tramo x>5

Evaluamos x=6 en la inecuación:

$\cfrac{5\cdot 6-15}{6-5}>0$

$\cfrac{15}{1}>0$

$15>0$ ✅

De modo que los tramos solución de la inecuación fraccionaria son:

$inecuaciones racionales o fraccionarias 4 eso$

En este caso no hay duda posible, los dos puntos son abiertos porque la inecuación tiene el signo >.

En resumen, la solución de la inecuación racional expresada en forma de intervalos es:

$x \in (-\infty,3)\cup (5,+\infty)$

Ejercicio 4

Soluciona la siguiente inecuación racional:

$\cfrac{2x^2-18}{x^2+5x}\geq 0$

Ver solución

En este ejercicio podemos calcular directamente los puntos críticos, ya que la fracción está despejada en un lado y en el otro lado únicamente hay un 0. Por lo que igualamos el numerador y el denominador a cero y resolvemos las dos ecuaciones cuadráticas incompletas:

Puntos críticos del numerador

$2x^2-18=0$

$2x^2=18$

$x^2=\cfrac{18}{2}$

$x^2=9$

$x=\pm 3$

Puntos críticos del denominador

$x^2+5x=0$

$\displaystyle x(x+5)=0$

$\displaystyle \begin{cases}x=0\\[2ex]x+5=0 \ \longrightarrow \ x=-5\end{cases}$

Hemos obtenido 4 puntos críticos, por lo que la recta queda dividida en 5 tramos. Así pues, evaluamos un punto de cada tramo en la inecuación para ver qué tramos cumplen con la desigualdad racional:

Tramo x<-5

Evaluamos x=-6 en la inecuación:

$\cfrac{2\cdot (-6)^2-18}{(-6)^2+5\cdot (-6)}\geq 0$

$\cfrac{54}{6}\geq 0$

$9\geq 0$ ✅

Tramo -5<x<-3

Evaluamos x=-4 en la inecuación:

$\cfrac{2\cdot (-4)^2-18}{(-4)^2+5\cdot (-4)}\geq 0$

$\cfrac{14}{-4}\geq 0$

$-\cfrac{14}{4}\ \cancel{\geq} \ 0$ ❌

Tramo -3<x<0

Evaluamos x=-1 en la inecuación:

$\cfrac{2\cdot (-1)^2-18}{(-1)^2+5\cdot (-1)}\geq 0$

$\cfrac{-16}{-4}\geq 0$

$4\geq 0$ ✅

Tramo 0<x<3

Evaluamos x=1 en la inecuación:

$\cfrac{2\cdot 1^2-18}{1^2+5\cdot 1}\geq 0$

$\cfrac{-16}{6}\geq 0$

$-\cfrac{16}{6}\ \cancel{\geq} \ 0$ ❌

Tramo x>3

Evaluamos x=4 en la inecuación:

$\cfrac{2\cdot 4^2-18}{4^2+5\cdot 4}\geq 0$

$\cfrac{14}{36}\geq 0$

$\cfrac{7}{18}\geq 0$ ✅

De manera que los tramos que son solución de la inecuación racional son:

$inecuaciones racionales o fraccionarias negativas$

En este caso los puntos críticos son cerrados debido al signo ≥, excepto los puntos críticos obtenidos del denominador de la fracción.

En conclusión, la solución de la inecuación fraccionaria expresada en forma de intervalos es:

$x \in (-\infty,-5)\cup [-3,0) \cup [3,+\infty)$

Ejercicio 5

Resuelve la siguiente inecuación racional (o fraccionaria) con valor absoluto:

$\displaystyle\left|\frac{3x-1}{x}\right|\geq 4$

Recomendación: antes de hacer el ejercicio, te recomendamos buscar en nuestra página web cómo se resuelven las inecuaciones con valor absoluto.

Ver solución

En primer lugar, negamos el segundo miembro de la inecuación para obtener dos desigualdades distintas y poder quitar el valor absoluto:

$\displaystyle\left|\frac{3x-1}{x}\right|\geq 4 \ \longrightarrow \ \begin{cases}\displaystyle\frac{3x-1}{x}\geq 4\\[4ex]\displaystyle\frac{3x-1}{x}\leq -4\end{cases}$

Y resolvemos cada inecuación fraccionaria obtenida por separado:

$\displaystyle\frac{3x-1}{x}\geq 4$

$\displaystyle\frac{3x-1}{x}-4 \geq 0$

$\displaystyle\frac{3x-1}{x}-\cfrac{4\cdot x}{x} \geq 0$

$\displaystyle\frac{3x-1-4x}{x} \geq 0$

$\displaystyle\frac{-x-1}{x} \geq 0$

$\begin{cases}-x-1=0 \ \longrightarrow \ x=-1 \\[2ex] x=0 \end{cases}$

Ahora evaluamos la inecuación en los tramos que resultan de dividir la recta real entre los puntos críticos hallados. Y la solución de esta subinecuación racional es:

$x\in [-1,0)$

$\displaystyle\frac{3x-1}{x}\leq -4$

$\displaystyle\frac{3x-1}{x}+4 \leq 0$

$\displaystyle\frac{3x-1}{x}+\cfrac{4\cdot x}{x} \leq 0$

$\displaystyle\frac{3x-1+4x}{x} \leq 0$

$\displaystyle\frac{7x-1}{x} \leq 0$

$\begin{cases}7x-1=0 \ \longrightarrow \ x=\cfrac{1}{7} \\[2ex] x=0 \end{cases}$

Ahora evaluamos la inecuación en los tramos que resultan de dividir la recta real entre los puntos críticos hallados. Y la solución de esta subinecuación racional es:

$\displaystyle x\in \left(0,\frac{1}{7}\right]$

Entonces, la solución de la inecuación racional con valor absoluto es la unión de las dos soluciones obtenidas, que representadas en la recta numérica son:

Y los intervalos que definen la solución de la inecuación con valor absoluto del problema son:

$\displaystyle x\in [-1,0) \ \cup \ \left(0,\frac{1}{7}\right]$

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